Векторски производ вектора – примери 2

Израчунавање површине применом векторског производа вектора.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.2) Одредити висину ${h_a}$ троугла $ABC$ , ако је $A\left( { - 1,0 - 1} \right),B\left( {0,2, - 3} \right)$ и $C\left( {4,4,1} \right)$ .

Пр.3) Нека је $\left| {\overrightarrow a } \right| = 10,\left| {\overrightarrow b } \right| = 2$ . Ако је $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 12$ одредити $\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right|$ .

Пр.2)

393 png

$\begin{aligned}&P = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {BA} \times \overrightarrow {BC} } \right| \\ &P = \frac{{a{h_a}}}{2} = \frac{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|{h_a}}}{2} \\ &\overrightarrow {BA} = A - B = \left( { - 1, - 2,2} \right) \\ &\overrightarrow {BC} = C - B = \left( {4,2,4} \right) \\ &\overrightarrow {BA} \times \overrightarrow {BC} = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k } \\ { - 1}&{ - 2}&2 \\ 4&2&4 \end{array}} \right|\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\overrightarrow i } \\ { - 1} \\ 4 \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\overrightarrow j } \\ { - 2} \\ 2 \end{array} = - 8\overrightarrow i + 8\overrightarrow j - 2\overrightarrow k + 8\overrightarrow k - 4\overrightarrow i + 4\overrightarrow {j = } \\ &= - 12\overrightarrow i + 12\overrightarrow j + 6\overrightarrow k = \left( { - 12,12,6} \right) \\ & \\ &\left| {\overrightarrow {BA} \times \overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 12} \right)}^2} + {{12}^2} + {6^2}} = \sqrt {324} = 18 \\ &P = \frac{1}{2}18 = 9 \\ &\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2} + {4^2}} = 6 \\ &18 = \frac{{6{h_a}}}{2} \\ &{h_a} = 6\end{aligned}$

Пр.3)

$\begin{aligned}&\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \\ &12 = 10 \cdot 2\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \\ &\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{3}{5} \\ & \\ &{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \\ &{\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1 \\ &{\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} \\ &{\sin ^2}\alpha = \frac{{16}}{{25}} \\ &\sin \alpha = \frac{4}{5} \\ & \\ &\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|sin\measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 10 \cdot 2 \cdot \frac{4}{5} = 16\end{aligned}$

Површина троугла $ABC$ у простору је $P = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ : векторски производ даје површину паралелограма, а троугао је његова половина. Кад знате површину, висину добијате из $P = \frac{a h_a}{2}$ , тј. $h_a = \frac{2P}{|\overrightarrow{BC}|}$ . Редослед је: вектори из истог темена (крај минус почетак), векторски производ, интензитет, па површина и висина.

Ако су задати $|\overrightarrow{a}|$ , $|\overrightarrow{b}|$ и $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ , из скаларног производа нађите $\cos\varphi$ , затим $\sin\varphi = \sqrt{1 - \cos^2\varphi}$ (угао је између $0^\circ$ и $180^\circ$ , па је синус позитиван) и на крају $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \sin\varphi$ . Код троугла не заборавите половину, а оба вектора узмите из истог темена.

Висина тачке A на зиду3 m

Површина једра P: 6,5 m²
Ивица BC: 5 m
Висина hₐ: 2,6 m

Зелени паралелограм има површину

|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|

, а једро

ABC

је његова половина. Што је тачка

A

на зиду виша, једро је стрмије и треба више платна; ивица

BC

се не мења, па висина

h_a = \frac{2P}{|BC|}

расте заједно са површином.

Пројектанти из координата темена рачунају површину косих троугластих површи: кровних равни, тенди и једара. Програми за 3D моделовање тако сабирају површине мреже од хиљада троуглова.

Тенда-једро у башти

Троугласто платно за хлад у башти кафића у Новом Саду закачено је у углу зида, у тачки $A(0, 0, 3)$ , и за два стуба, у тачкама $B(4, 0, 2)$ и $C(0, 3, 2)$ . Координате су у метрима, а оса $z$ иде навише. Колико квадратних метара платна има једро и колико је тачка $A$ на зиду удаљена од ивице $BC$ између стубова?

Решење

Вектори из темена $A$ : $\overrightarrow{AB} = (4, 0, -1)$ и $\overrightarrow{AC} = (0, 3, -1)$ .
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3,\ (-1) \cdot 0 - 4 \cdot (-1),\ 4 \cdot 3 - 0 \cdot 0) = (3, 4, 12)$ .
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{9 + 16 + 144} = 13$ , па је $P = \frac{13}{2} = 6{,}5$ m².
$\overrightarrow{BC} = (-4, 3, 0)$ и $|\overrightarrow{BC}| = 5$ , па је $h_a = \frac{2P}{|\overrightarrow{BC}|} = \frac{13}{5} = 2{,}6$ m.

Одговор: Једро има површину 6,5 m², а тачка $A$ је од ивице $BC$ удаљена 2,6 m.

Задатак за вежбу

Дато је $|\overrightarrow{a}| = 13$ , $|\overrightarrow{b}| = 2$ и $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 10$ . Израчунајте $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ .

Прикажи решење

$\cos\varphi = \frac{10}{13 \cdot 2} = \frac{5}{13}$ , $\sin\varphi = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \frac{12}{13}$ , па је $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = 13 \cdot 2 \cdot \frac{12}{13} = 24$ .